Grandeur sinusoïdale
u(t) = Umax · sin(ω · t + φ)
| Grandeur | Symbole | Unité |
|---|---|---|
| Valeur maximale | Umax | V |
| Pulsation | ω | rad/s |
| Phase à l'origine | φ | rad |
Elec Class
apprendre l'électricité en manipulant
Fiche de cours · chapitre 12 sur 15
Le courant alternatif change de sens à chaque demi-période : la tension du secteur suit une sinusoïde qui monte à 325 V, redescend à −325 V et recommence 50 fois par seconde. Sa valeur efficace, Ueff = Umax / √2 = 230 V, est celle qui chauffe autant qu'une tension continue de 230 V.
Le résultat se calcule sous tes yeux, ligne par ligne, comme au tableau.
1Je cherche
2Je donne les valeurs connues
Formule utilisée Umax = Ueff · √2
3Le résultat
Valeur maximale Umax325 V
Une tension sinusoïdale de 230 V efficaces monte jusqu'à 325 V à chaque crête.
La définition, l'essentiel à retenir et des exemples de tous les jours.
Une grandeur sinusoïdale s'écrit u(t) = Umax·sin(ωt + φ). Sa période T (s) et sa fréquence f = 1/T (Hz) sont liées à la pulsation ω = 2πf (rad/s). Le réseau européen est à 50 Hz (T = 20 ms).
La valeur efficace Ueff = Umax/√2 est celle qui produirait le même échauffement en continu : c'est elle que lisent les voltmètres AC (230 V), tandis que l'oscilloscope montre Umax (325 V). Deux sinusoïdes de même fréquence sont déphasées de φ ; on les représente par des vecteurs de Fresnel.
Pense à une scie que l'on pousse et que l'on tire : la lame va et vient sans avancer, et pourtant elle coupe. En alternatif, les électrons font de même : ils oscillent sur place, de bien moins d'un millimètre, 50 fois par seconde, et ce va-et-vient suffit à faire briller la lampe. La limite : une main pousse par à-coups, alors que la tension ralentit et accélère en douceur, en suivant une sinusoïde.
| Grandeur | Symbole | Unité |
|---|---|---|
| Valeur maximale | Umax | V |
| Pulsation | ω | rad/s |
| Phase à l'origine | φ | rad |
| Grandeur | Symbole | Unité |
|---|---|---|
| Fréquence | f | Hz |
| Période | T | s |
| Grandeur | Symbole | Unité |
|---|---|---|
| Valeur efficace | Ueff | V |
| Valeur maximale | Umax | V |
Quatre étapes pour réussir un exercice, puis un exemple corrigé ligne par ligne.
Valeur efficace ou maximale ? Fréquence, période ou pulsation ? Un « 230 V » sans précision est une valeur efficace.
Umax = Ueff × √2, T = 1 / f, ω = 2π × f : écris la relation avant de remplacer, avec T en secondes.
u(t) = Umax · sin(ω·t + φ) : c'est la valeur maximale, pas l'efficace, qui se place devant le sinus.
Calculatrice en radians pour sin(ω·t), puis contrôle : une valeur instantanée ne dépasse jamais Umax.
Le réseau fournit 230 V efficaces à 50 Hz. Quelle est la valeur maximale de la tension, la période, la pulsation ? Écrire u(t) et calculer sa valeur à t = 5 ms.
Umax = Ueff · √2 = 230 × 1,414 = 325 V.
T = 1 / f = 1 / 50 = 20 ms ; ω = 2π · f = 314 rad/s.
u(t) = 325 · sin(314 · t). À t = 5 ms (un quart de période) : 314 × 0,005 = 1,57 rad = π/2, donc u = 325 × 1 = 325 V, le maximum.
Le courant continu circule toujours dans le même sens (pile, batterie, port USB) ; le courant alternatif change de sens à chaque demi-période (prise de courant). Le réseau est alternatif parce que les transformateurs, qui ne fonctionnent qu'en alternatif, permettent de transporter l'énergie à très haute tension avec peu de pertes.
Pour une sinusoïde, on divise la valeur maximale par √2 : Ueff = Umax / √2. Une tension de 17 V crête donne 17 / 1,414 = 12 V efficaces. Pour un signal carré ou triangulaire, le rapport n'est pas le même.
f = 1 / T, avec T en secondes. Une période de 20 ms donne f = 1 / 0,02 = 50 Hz ; une période de 2,5 ms donne 1 / 0,0025 = 400 Hz.
C'est la vitesse de rotation, en radians par seconde, du vecteur de Fresnel qui représente la sinusoïde : ω = 2π × f. À 50 Hz, ω = 2π × 50 ≈ 314 rad/s. On la retrouve dans u(t) et dans les réactances des bobines et condensateurs.
Les deux sinusoïdes sont décalées d'un quart de période : quand l'une passe par son maximum, l'autre passe par zéro. À 50 Hz, 90° correspondent à 5 ms. C'est le décalage entre courant et tension dans une bobine ou un condensateur parfaits.
Environ 650 V, de +325 V à −325 V. Les oscilloscopes l'affichent souvent sous le nom Vpp ; ne la confonds ni avec Umax (325 V) ni avec Ueff (230 V).
230 V est la valeur efficace : une tension continue de 230 V chaufferait une résistance exactement autant que cette sinusoïde. C'est la seule valeur utile pour les calculs de puissance, et celle qu'affichent les voltmètres.
Que la tension fait 50 allers-retours complets par seconde : une période dure 20 ms, la tension passe par zéro 100 fois par seconde. En Amérique du Nord, le réseau est à 60 Hz.
Du plus simple au plus complet, chaque exercice a sa correction pas à pas.
Avec un générateur basse fréquence et un oscilloscope, afficher une sinusoïde de 6 V crête à 50 Hz, mesurer Umax et T sur l'écran, puis comparer avec la lecture d'un multimètre en position AC (environ 4,2 V).
Utiliser Elec Class en classe